Neprekidnost funkcije

Odredite parametar $\lambda$ tako da funkcija

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{x^2-4}{x-2}, & x\neq2\\ \lambda, & x=2 \end{matrix}\right.$

bude neprekidna.

Odredite konstante

tako da funkcija

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}-2\sin x, & x\leq -\frac{\pi}{2} \\ a\s... ...{\pi}{2}< x< \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & x\geq \frac{\pi}{2} \end{matrix}\right.$

bude neprekidna.

Rješenje.

Funkcija

je neprekidna na skupu $\mathbb{R}\backslash \{2\}$ pa je dovoljno odrediti parametar $\lambda$ takav da

bude neprekidna u

, odnosno da vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to2+0}f(x)=\lim_{x\to2-0}f(x)=f(2).$

Budući je

$\displaystyle \lim_{x\to2\pm0}f(x)=\lim_{x\to2\pm0}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2\pm0}\frac{(x-2) (x+2)}{x-2}= \lim_{x\to2\pm0}(x+2)=4,$

mora vrijediti

. Iz definicije funkcije

je $f(2)=\lambda$ pa stoga slijedi $\lambda=4$ .

Funkcija

je neprekidna na skupu

$\displaystyle \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi} {2}\right\}.$

Potrebno je odrediti konstante

tako da

bude neprekidna u točkama $x_1=-\frac{\pi}{2}$ i $x_2=\frac{\pi}{2}$ , odnosno da ispunjava uvjete iz

[M1, definicija 4.6]:

$\displaystyle \lim_{x\to x_i-0}f(x)=\lim_{x_i+0}f(x)=f(x_i), \quad i=1,2.$

(4.4)

Za točku $x_1=-\frac{\pi}{2}$ vrijedi

$\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}-0}f(x)$	$\displaystyle = \displaystyle\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}-0}(-2\sin x ) = 2,$
$\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}+0}f(x)$	$\displaystyle = \displaystyle\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}+0} (a\sin x+b) = -a+b,$
$\displaystyle \displaystyle f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$	$\displaystyle = \displaystyle -2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2.$

Uvrštavanjem dobivenih rezultata u (4.4) slijedi

$\displaystyle -a+b=2.$

Za točku $x_2=\frac{\pi}{2}$ vrijedi

$\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0}f(x)$	$\displaystyle = \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0}(a\sin x+b) = a+b,$
$\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0}f(x)$	$\displaystyle = \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0} \cos x = 0,$
$\displaystyle \displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$	$\displaystyle = \displaystyle \cos\frac{\pi}{2} = 0.$