×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
DERIVACIJE I PRIMJENE     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tangenta i normala


Derivacija

U ovom poglavlju definirat ćemo derivaciju te derivacije slijeva i zdesna, izvesti formule za jednadžbe tangente i normale i dati osnovna pravila deriviranja. Potom ćemo izvesti formule za derivacije svih elementarnih funkcija iz poglavlja 4.6.

Definicija 5.1   Funkcija $ f:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ je derivabilna u točki $ x_0\in \mathcal{D}$ ako postoji limes

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0).
$

Broj $ f'(x_0)$ je derivacija funkcije $ f$ u točki $ x_0$ . $ f'(x)$ definirana na ovaj način je također funkcija i vrijedi

$\displaystyle f':\mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}\to \mathbb{R}.
$

Ako je $ \mathcal{A}\subset \mathcal{D}$ , tada je funkcija $ f$ derivabilna na skupu $ \mathcal{A}$ , a ako je $ \mathcal{A} = \mathcal{D}$ , tada je $ f$ derivabilna funkcija. Ako je pored toga funkcija $ f'$ neprekidna, tada je $ f$ neprekidno derivabilna ili glatka funkcija.

Definicija limesa 4.5 povlači da u izoliranoj točki $ x_0$ derivacija $ f'(x_0)$ ne postoji, premda je funkcija $ f$ definirana u toj točki (vidi sliku 5.1).

Slika 5.1: Izolirana točka
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/izol.eps,width=7.2cm}
\end{center}\end{figure}

Dokažimo sljedeći važan teorem.

Teorem 5.1   Ako je funkcija $ f$ derivabilna u točki $ x_0$ , tada je i neprekidna u toj točki.

Dokaz.

Derivabilnost funkcije $ f$ u točki $ x_0$ povlači

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} ( f(x)-f(x_0) )$ $\displaystyle = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} (x-x_0)$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\, \lim_{x\to x_0}(x-x_0)$    
  $\displaystyle = f'(x_0)\lim_{x\to x_0}(x-x_0)$    
  $\displaystyle =0.$    

Dakle, $ \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ , pa je funkcija $ f$ neprekidna u točki $ x_0$ po definiciji 4.6.     
Q.E.D.

Vidimo da funkcija nema derivaciju u točkama prekida. Obrat teorema ne vrijedi, odnosno ako je funkcija $ f$ neprekidna u točki $ x_0$ , ne mora imati derivaciju u toj točki (vidi primjer 5.3).

Ako u definiciji 5.1 prirast nezavisne varijable u točki $ x_0$ označimo s

$\displaystyle \Delta x=x-x_0,
$

a prirast funkcije $ y=f(x)$ u točki $ x_0$ označimo s

$\displaystyle \Delta f(x_0) \equiv \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0),
$

tada imamo

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta...
...\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.
$

Kada u ovoj formuli zamijenimo $ x_0$ s $ x$ , dobijemo izraz za derivaciju koji je pogodan za primjene,

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\...
... 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.$ (5.1)

Iz teorema 5.1 slijedi da u definiciji 5.1 i formuli (5.1) brojnik i nazivnik istovremeno teže k nuli, odnosno derivacija je definirana kao limes neodređenog oblika $ \frac{0}{0}$ . Međutim, takvi neodređeni limesi se mogu izračunati, što nam daje formule za derivacije zadanih funkcija.

Primjer 5.1  
a)
Za konstantnu funkciju $ f(x)=c$ po formuli (5.1) vrijedi

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{c-c}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} 0=0.
$

b)
Za funkciju $ f(x)=cx$ vrijedi

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=
...
...c(x+\Delta x)-cx}{\Delta x}=
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{c\Delta x}{\Delta x}=c.
$

c)
Za funkciju $ f(x)=x^2$ vrijedi

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)$    
  $\displaystyle =2x.$    

d)
Adicioni teoremi (A4) i (A5) povlače

$\displaystyle \sin (u+t)-\sin (u-t)=2\cos u \sin t.
$

Primjena ove formule daje

$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin [ (x+\frac{\Delta x}{2}) + \frac{\Delta x}{2} ]- \sin [ ( x+\frac{\Delta x}{2}) - \frac{\Delta x}{2} ] }{\Delta x}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{2 \cos (x+\frac{\Delta x}{2}) \sin \f...
...Delta x}{2}}{\Delta x} \lim_{\Delta x\to 0} \cos \big(x+\frac{\Delta x}{2}\big)$    
  $\displaystyle =\cos x.$    

U predzadnjoj jednakosti koristili smo treću tvrdnju teorema 4.3 o limesu produkta, a u zadnjoj jednakosti koristili smo zadatak 4.5.
e)
Na sličan način možemo pokazati da je

$\displaystyle (\cos x)'=-\sin x.
$

Dokažite ovu formulu.
Primijetimo da su po definiciji 5.1 sve ove funkcije glatke, jer su im derivacije neprekidne.

Derivacija je nezaobilazni alat u rješavanju mnogih problema u fizici, mehanici i općenito tehnici. Isaac Newton je u XVII. stoljeću započeo razvijati diferencijalni račun baveći se problemom određivanja brzine.

Primjer 5.2   Neka je s

$\displaystyle s=f(t)
$

dan zakon prema kojem se točka $ T$ giba po pravcu, pri čemu $ s$ označava prijeđeni put, a $ t$ označava vrijeme. Pretpostavimo da je kretanje započelo iz ishodišta, odnosno $ f(0)=0$ . Tada točka $ T$ do trenutka $ t_0$ prevali put $ s_0=f(t_0)$ , a do trenutka $ t>t_0$ put $ s=f(t)$ . Prosječna brzina kojom se točka $ T$ gibala u vremenu od trenutka $ t_0$ do trenutka $ t$ jednaka je

$\displaystyle \frac{s-s_0}{t-t_0}=\frac{\Delta s}{\Delta t}.
$

Ako je $ f$ derivabilna funkcija, tada kada $ t\to t_0$ gornji izraz teži k trenutačnoj brzini točke $ T$ u trenutku $ t_0$ ,

$\displaystyle v_0=v(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{s-s_0}{t-t_0}=\lim_{\Delta t\to 0}
\frac{\Delta s}{\Delta t}=f'(t_0).
$

Dakle, brzina je derivacija puta po vremenu. Na sličan način možemo pokazati i da je ubrzanje (akceleracija) derivacija brzine po vremenu. Vidimo da u ovom slučaju vrijedi općenita tvrdnja, izrečena na početku poglavlja, o derivaciji kao "mjeri promjene".


Poglavlja


DERIVACIJE I PRIMJENE     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tangenta i normala