×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Klasifikacija elementarnih funkcija     Pregled elementarnih funkcija     Hiperbolne i area funkcije


Polinomi i racionalne funkcije

Polinom $ n$ -tog stupnja je funkcija

$\displaystyle p_n(x)=a_nx^n+a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i,
$

pri čemu su koeficijenti $ a_i$ realni brojevi i vrijedi $ a_n\neq 0$ . Napomenimo da je prirodno definirati i polinome čiji su koeficijenti kompleksni brojevi. Takvi polinomi se razmatraju u Matematici 3.

Za polinome vrijedi sljedeći važan teorem kojeg navodimo bez dokaza, a koji slijedi iz poznatog Osnovnog teorema algebre.

Teorem 4.9   Svaki polinom $ n$ -tog stupnja $ p_n$ ima točno $ n$ kompleksnih nul-točaka $ z_i$ za koje vrijedi $ p_n(z_i)=0, \ i=1,2,\ldots,n$ . Drugim riječima, $ p_n$ se dade rastaviti kao

$\displaystyle p_n(x)=a_nx^n+ \cdots + a_1 x + a_0 = a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots (x-z_n).
$

Nadalje, strogo kompleksne nul-točke (one za koje je $ \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z_i\neq 0$ ) se uvijek javljaju u konjugirano kompleksnim parovima, odnosno

$\displaystyle p_n(z_i)=0 \quad \Leftrightarrow \quad p_n(\bar z_i)=0.
$

Primijetimo da u iskazu teorema nul-točke $ z_i$ ne moraju biti međusobno različite. Ako je neki broj $ z$ nul-točka koja se u gornjem rastavu pojavljuje $ k$ puta, tada kažemo da je $ z$ $ k$ -terostruka nul-točka polinoma $ p_n$ ili nul-točka kratnosti $ k$ .

Zadnja tvrdnja teorema također ima zanimljive posljedice. Tako polinom drugog stupnja može imati samo ili dvije realne ili dvije konjugirano kompleksne nul-točke, a ne može imati jednu realnu i jednu strogo kompleksnu nul-točku. Na primjer,

$\displaystyle 2x^2-x-1$ $\displaystyle =2(x-1)\big(x+\frac{1}{2}\big),$    
$\displaystyle x^2+x+1$ $\displaystyle =\bigg(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\bigg) \bigg(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\bigg)$    
  $\displaystyle = \bigg(x+\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg) \bigg(x+\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg).$    

Slično, polinom trećeg stupnja može imati ili tri ili jednu realnu nul-točku, a polinom četvrtog stupnja može imati ili četiri ili dvije ili nijednu realnu nul-točku.

Zadatak 4.13   Nacrtajte nekoliko polinoma različitih stupnjeva pomoću programa NetPlot i opišite njihovo ponašanje.

Racionalna funkcija je kvocijent dvaju polinoma,

$\displaystyle r(x)=\frac{p_n(x)}{q_m(x)}.
$

Očito vrijedi

$\displaystyle r:\mathbb{R}\setminus \{ x\in\mathbb{R}: q_m(x)= 0\} \to \mathbb{R}.
$

U točkama prekida racionalna funkcija ima ili vertikalu asimptotu s obje strane ili uklonjivi prekid.

Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, $ n<m$ , tada kažemo da je $ r$ prava racionalna funkcija. Ako je $ n\geq m$ , tada možemo podijeliti polinom $ p_n$ s polinomom $ q_m$ , odnosno vrijedi

$\displaystyle r(x)=s_k(x)+\frac{t_l(x)}{q_m(x)},
$

pri čemu su $ s_k$ i $ t_l$ također polinomi. Ostatak

$\displaystyle \frac{t_l(x)}{q_m(x)}
$

je prava racionalna funkcija, odnosno vrijedi $ l<m$ . Na primjer,

$\displaystyle \frac{2x^3-x^2+4x-2}{x^2-2x+3}=2x+3+\frac{4x-11}{x^2-2x+3}.
$


Klasifikacija elementarnih funkcija     Pregled elementarnih funkcija     Hiperbolne i area funkcije