Natrag: Logaritamska funkcija   Gore: Logaritamska funkcija   Naprijed: Trigonometrijske funkcije  

Svojstva logaritama

Najvažnija svojstva logaritamskih funkcija su:

$$\log_a x=\log_a b \cdot \log_b x \quad \textrm{(veza dvaju baza)},$$ (L1)

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a},$$ (L2)

$$\log_a (x\cdot y) = \log_a x + \log_a y, \quad x,y>0,$$ (L3)

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad x,y>0,$$ (L4)

$$\log_a x^y = y \log_a x, \quad x>0,$$ (L5)

$$x^r = a^{r\cdot \log_a x}, \quad x>0.$$ (L6)

Dokaz svojstva (L1): jednakost $x=x$ možemo koristeći logaritme s bazama $a$ i $b$ zapisati kao

$$a^{\log_a x} = b^{\log_b x}.$$

Uvrštavanje $b=a^{\log_a b}$ u gornju nejednakost i primjena svojstva potenciranja (P2) daju

$$a^{\log_a x} = \left( a^{\log_a b}\right)^{\log_b x}= a^{\log_a b \cdot \log_b x}.$$

Kako su u prethodnoj jednakosti baze jednake, to moraju biti jednaki i eksponenti, odnosno svojstvo (L1) vrijedi.
Dokaz svojstva (L2): kada u svojstvo (L1) uvrstimo $x=a$ dobijemo

$$1=\log_a a = \log_a b \cdot \log_b a.$$

Dokaz svojstva (L3): slično kao u dokazu svojstva (L1) izraz $xy=x\cdot y$ možemo zapisati kao

$$a^{\log_a (xy)}=a^{\log_a x} \cdot a^{\log_a y}=a^{\log_a x + \log_a y}.$$

Svojstva (L4-L6) dokazuju se slično.

Napomena 4.10   Kako većina programa za crtanje funkcija može crtati samo funkcije $\log x$ i $\ln x$, kod crtanja funkcija $\log_2 x$ i $\log_{1/2} x$ na slikama 4.25 i 4.26 korištena su svojstva (L1) i (L2). Program Gnuplot pomoću kojeg su nacrtane slike funkciju $\ln x$ označava s log(x).

Zadatak 4.10   Nacrtajte funkcije $\log x$, $\ln x$, $\log_3 x$ i $\log_{1/3} x$. Jesu li te funkcije omeđene, monotone, neprekidne i imaju li asimptote?

Natrag: Logaritamska funkcija   Gore: Logaritamska funkcija   Naprijed: Trigonometrijske funkcije