Natrag: Potencija   Gore: Potencija   Naprijed: Potenciranje s realnim  

Potenciranje s racionalnim eksponentom

Funkciju

$$f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$$

definiramo kao inverznu funkciju funkcije $x^n$ ili njene restrikcije na interval $[0,\infty)$, ukoliko je $n$ paran (vidi slike 4.20 i 4.21).

Slika 4.20: Funkcija $f(x)=\sqrt {x}$

Slika 4.21: Funkcija $f(x)=\sqrt [3]{x}$

Napomena 4.7   Graf inverzne funkcije simetričan je grafu zadane funkcije s obzirom na simetralu I i III kvadranta, to jest pravac $y=x$.

Napomena 4.8   Uz sliku 4.21 vezana je zanimljiva primjedba. Uočite da je funkcija $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ nacrtana iz dva dijela na pomalo neobičan način. Mi znamo da je $x^{1/3}$ inverzna funkcija funkcije $x^3$. Međutim, računala barataju samo s diskretnim podskupom skupa $\mathbb{Q}$ (vidi poglavlje 1.7.1, a broj $\frac{1}{3}=0.3333\ldots=0.\dot{3}$ ima beskonačni periodični decimalni zapis. Stoga programi za crtanje funkcije oblika $x^{1/k}$ takve slučajeve često tretiraju kao potencije s realnim eksponentom koje su definirane samo za $x>0$ (vidi poglavlje 4.6.2). Naredba za crtanje funkcije $x^{0.33333}$ u programu Gnuplot tako daje sliku funkcije samo za $x>0$, dok se lijeva strana dobije tako što se nacrta funkcija $-(-x)^{0.33333}$.

Nadalje, za $n\in \mathbb{N}$ možemo definirati funkciju

$$f(x)=x^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{n}}},$$

pri čemu je

$$\mathcal{D}(x^{-\frac{1}{n}})=\mathcal{D}(x^{\frac{1}{n}}) \backslash \{ 0 \}.$$

Također možemo definirati i funkcije oblika

$$f(x)=x^{\frac{m}{n}}, \qquad m\in \mathbb{Z}, \quad n\in \mathbb{N},$$

pri čemu se područje definicije određuje na temelju prethodnih pravila. Na primjer,

$$\mathcal{D}( x^{\frac{2}{3}}) = \mathbb{R}, \qquad \mathcal{D}( x^{\frac{3}{2}}) = [0, \infty).$$

Zadatak 4.8   Koje od funkcija $x^k$, $x^{1/k}$, $k\in\mathbb{Z}$, su omeđene (odozdo, odozgo), parne ili neparne, monotone ili po dijelovima monotone, neprekidne ili imaju prekide (kakvi su ti prekidi) te koje imaju vertikalne, horizontalne ili kose asimptote ?

Prisjetimo se da je skup racionalnih brojeva $\mathbb{Q}$ zapravo skup klasa ekvivalencije na skupu $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$. Ukoliko su $m$ i $n$ relativno prosti tada je područje definicije uvijek jednoznačno određeno i vrijedi

$$x^{\frac{m}{n}}= (x^m)^{\frac{1}{n}}=(x^{\frac{1}{n}})^m.$$

Ukoliko $m$ i $n$ nisu relativno prosti tada može doći do situacije kao u sljedećem primjeru:

$$f(x)=(\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}, \qquad \mathcal{D}= [0,\infty)$$

$$\mathrm{galeb}(x)=\sqrt[4]{x^2}, \qquad \mathcal{D}= \mathbb{R}.$$

Dok je prva funkcija prikazana na slici 4.20, funkcija $\mathop{\mathrm{galeb}} (x)$ prikazana je na slici 4.22.

Slika 4.22: Funkcija $\mathrm {\mathop {galeb}} (x)=\sqrt [4]{x^2}$

Slično je i $\sqrt{x^2}=\vert x\vert$ (vidi sliku 1.1).

Natrag: Potencija   Gore: Potencija   Naprijed: Potenciranje s realnim