×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Neprekidnost     Neprekidnost     Vrste prekida


Svojstva neprekidnih funkcija

Teorem 4.6   Neka su funkcije $ f$ i $ g$ neprekidne u točki $ x$ (na skupu $ \mathcal{A}$ ). Tada su u točki $ x$ (na skupu $ \mathcal{A}$ ) neprekidne i funkcije $ f+g$ , $ f-g$ , $ f\cdot g$ i $ \displaystyle \frac{f}{g}$ uz $ g(x)\neq 0$ ( $ g(x)\neq 0$ za svaki $ x\in\mathcal{A}$ ).

Dokaz ovog teorema sličan je dokazu teorema 4.3.

Teorem 4.7  
i)
Ako je funkcija $ f$ neprekidna u točki $ x$ , a funkcija $ g$ neprekidna u točki $ y=f(x)$ , tada je kompozicija $ g\circ f$ neprekidna u točki $ x$ .
ii)
Ako je

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=y
$

i ako je funkcija $ g$ neprekidna u točki $ y$ , tada je

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(f(x))=g\big(\lim_{x\to x_0}f(x)\big) = g(y).
$

Druga tvrdnja teorema nam olakšava nalaženje limesa, jer nam omogućava da s limesom "uđemo" u neprekidnu funkciju.

Primjer 4.9  
a)
Zbog neprekidnosti funkcije $ e^x$ i teorema 4.7 ii) vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{\frac{2x^2-1}{1-x^2}} =
e^{\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-1}{1-x^2}} = e^{-2}=\frac{1}{e^2}.
$

b)
Broj $ e$ je definiran kao (vidi poglavlje 6.1.3)

$\displaystyle e=\lim_{x\to +\infty} \bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)^x =
\lim_{x\to 0+0} (1+x)^{\frac{1}{x}}.
$

Zbog neprekidnosti funkcija $ \ln x$ i $ \sqrt{x}$ i teorema 4.7 ii) vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to 0+0} \ln (1+x)^{\frac{1}{2x}}$ $\displaystyle = \ln \big(\lim_{x\to 0+0} (1+x)^{\frac{1}{2x}}\big) = \ln \big(\lim_{x\to 0+0} (1+x)^{\frac{1}{x}}\big)^{\frac{1}{2}}$    
  $\displaystyle =\ln e^{\frac{1}{2}}= \frac{1}{2} \ln e = \frac{1}{2}.$    

Teorem 4.8   Neka je funkcija $ f$ neprekidna na zatvorenom intervalu $ [a,b]$ , $ a<b$ . Tada vrijedi:
i)
ako restrikcija $ f\mid_{[a,b]}$ nije konstanta, tada je slika tog intervala, $ f([a,b])=[c,d]\subseteq\mathbb{R}$ , također zatvoreni interval;
ii)
restrikcija $ f\mid_{[a,b]}$ poprima na intervalu $ [a,b]$ svoj minimum i maksimum, kao i svaku vrijednost između njih.

Situacija iz teorema prikazana je na slici 4.14. Zatvorenost intervala je bitna, jer je funkcija na slici neprekidna i na intervalu $ (e,a]$ , ali teorem ne vrijedi.

Slika 4.14: Neprekidna funkcija
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/neprek.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Napomena 4.6   Druga tvrdnja teorema 4.8 ima važan korolar: ako je $ \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits f(a) \neq \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits f(b)$ , tada postoji točka $ x\in(a,b)$ takva da je $ f(x)=0$ . Ovu činjenicu koriste numeričke metode za nalaženje nul-točaka funkcije, kao, na primjer, metoda bisekcije.


Neprekidnost     Neprekidnost     Vrste prekida