Beskonačan limes

☰ matematika1

Limes u beskonačnosti Limes Neprekidnost

Beskonačan limes

Kada $x\to x_0$ također je moguće da vrijednosti funkcije teže u beskonačnost.

Funkcija teži u $+\infty$ kada $x\to x_0$ , odnosno

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty,$

ako

$\displaystyle (\forall M>0) \ (\exists \delta > 0) \quad x\in \mathcal{D}\setminus \{x_0\} \ \wedge \ \vert x-x_0\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad f(x)>M.$

Slično, funkcija

teži u $-\infty$ kada $x\to x_0$ , odnosno

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty,$

ako

$\displaystyle (\forall M<0) \ (\exists \delta > 0) \quad x\in \mathcal{D}\setminus \{x_0\} \ \wedge \ \vert x-x_0\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad f(x)<M.$

Napomena 4.5 Beskonačne limese slijeva i zdesna definiramo na sličan način. Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za beskonačne limese.

Na primjer, lako se vidi da je (slika 4.13)

$\displaystyle \lim_{x\to 0-0}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 0+0}\frac{1}{x}=+\infty.$

**Slika 4.13:** Beskonačan limes
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/jedanxa.eps,width=8.4cm} \end{center}\end{figure}$

Zadatak 4.6 Koji su limesi funkcija

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}, \qquad g(x)=\frac{1}{x^3}$

kada $x\to 0-0$ , $x\to 0+0$ , $x\to +\infty$ i $x\to -\infty$ ?