×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Primjene     Primjene     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE


Primjeri

Sljedeći primjeri ilustriraju nalaženje sjecišta pravca i ravnine, projekcije točke na pravac i udaljenosti točke od pravca te projekcije točke na ravninu i udaljenosti točke od ravnine.

Primjer 3.12   Odredimo točku $ T$ u kojoj se sijeku pravac

$\displaystyle %
p \quad \ldots \quad \frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}
$

i ravnina $ \rho$ zadana s $ x+2y+z-3=0$ . Parametarska jednadžba pravca glasi

\begin{displaymath}%
\begin{cases}
x=1-t\\
y=3+2t\\
z=2+3t
\end{cases}\qquad t\in \mathbb{R}.
\end{displaymath}

Uvrštavanje u jednadžbu ravnine daje

$\displaystyle %
1-t+2(3+2t)+2+3t-3=0,
$

odnosno $ t=-1$ . Uvrštavanje ove vrijednosti $ t$ u parametarsku jednadžbu pravca daje $ x=2$ , $ y=1$ i $ z=-1$ pa je tražena točka $ T$ jednaka (slika 3.18)

$\displaystyle %
p\cap\rho=T=(2,1,-1).
$

Slika 3.18: Sjecište pravca i ravnine
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/sjpr.eps,width=9.0cm}\end{center}\end{figure}

Primjer 3.13   Odredimo projekciju $ T'$ točke $ T=(4,4,5)$ na pravac

$\displaystyle %
p\quad \ldots \quad \frac{x-4}{1}=\frac{y-6}{2}=\frac{z+1}{-1}
$

i udaljenost točke $ T$ od pravca $ p$ .

Za određivanje projekcije odredit ćemo pomoćnu ravninu $ \rho$ koja prolazi točkom $ T$ , a okomita je na pravac $ p$ . Točka $ T'$ je sjecište pravca $ p$ i ravnine $ \rho$ (slika 3.19).

Normala ravnine $ \rho$ jednaka je vektoru smjera pravca $ p$ ,

$\displaystyle %
\mathbf{n}=\mathbf{s}=\{1,2,-1\}.
$

Ravnina prolazi točkom $ T$ pa formula (3.12) daje

$\displaystyle %
x-4+2(y-4)-(z-5)=0.
$

Nađimo sjecište pravca i ravnine kao u primjeru 3.12: parametarska jednadžba pravca $ p$ glasi

\begin{displaymath}%
\begin{cases}
x=4+t\\
y=6+2t\\
z=-1-t
\end{cases}\qquad t\in \mathbb{R}
\end{displaymath}

pa uvrštavanje u jednadžbu ravnine daje $ t=-\frac{5}{3}$ . Uvrštavanje $ t$ u parametarsku jednadžbu pravca daje

$\displaystyle %
T'=\left(\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{2}{3}\right).
$

Konačno,

$\displaystyle %
d(T,p)=\vert\overrightarrow{TT'}\vert=\sqrt{\left( \frac{7}{3}-...
...4 \right)^2+\left( \frac{2}{3}-5 \right)^2}
=\frac{\sqrt{210}}{3}\approx 4.83.
$

Slika 3.19: Projekcija točke na pravac
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/ptpr.eps,width=9.0cm}\end{center}\end{figure}

Primjer 3.14   Odredimo projekciju $ T'$ točke $ T=(4,4,5)$ na ravninu

$\displaystyle %
\rho \quad \ldots \quad 3x+6y+2z-6=0
$

i udaljenost točke $ T$ od ravnine $ \rho$ .

Prvo ćemo naći pomoćni pravac $ p$ koji prolazi točkom $ T$ , a okomit je na ravninu $ \rho$ . Točka $ T'$ je tada sjecište pravca i ravnine (slika 3.20).

Vektor smjera pravca $ p$ jednak je normali ravnine $ \rho$ ,

$\displaystyle %
\mathbf{s}=\mathbf{n}=\{3,6,2\}.
$

Pravac prolazi točkom $ T$ pa njegova parametarska jednadžba glasi

\begin{displaymath}%
\begin{cases}
x=4+3t\\
y=4+6t\\
z=5+2t
\end{cases}\qquad t\in \mathbb{R}.
\end{displaymath}

Slično kao u prethodnom primjeru, uvrštavanje u jednadžbu ravnine daje $ t=-\frac{40}{49}$ , odnosno

$\displaystyle %
T'=\left(\frac{76}{49},\frac{-44}{49},\frac{165}{49}\right)
\approx (1.55,-0.9,3.37).
$

Konačno

$\displaystyle %
d(T,\rho)=\vert\overrightarrow{TT'}\vert=\frac{280}{49}\approx 5.71.
$

Slika 3.20: Projekcija točke na ravninu
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/ptrav.eps,width=10.8cm}\end{center}\end{figure}


Primjene     Primjene     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE