Natrag: Ravnina   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed: Primjeri  

Primjene

Pomoću vektora i operacija s njima te pomoću raznih oblika jednadžbi pravca i ravnine možemo ispitivati čitav niz međuodnosa i svojstava:

a)

Međusobni odnosi pravaca i ravnina.

1.

Pravci $p_1$ i $p_2$ su paralelni, $p_1 \parallel p_2$, ako za njihove vektore smjera vrijedi $\mathbf{s}_1=t \mathbf{s}_2$, $t\in \mathbb{R}$. Paralelni pravci mogu, ali ne moraju ležati jedan na drugom.

2.

Pravci $p_1$ i $p_2$ su okomiti, $p_1 \perp p_2$, ako za njihove vektore smjera vrijedi $\mathbf{s}_1\cdot \mathbf{s}_2=0$. Okomiti pravci se mogu sjeći, ali mogu biti i mimosmjerni.

3.

Ravnine $\rho_1$ i $\rho_2$ su paralelne, $\rho_1 \parallel \rho_2$, ako za njihove normale vrijedi $\mathbf{n}_1=t \mathbf{n}_2$, $t\in \mathbb{R}$. Paralelne ravnine mogu, ali ne moraju ležati jedna na drugoj.

4.

Ravnine $\rho_1$ i $\rho_2$ su okomite, $\rho_1 \perp \rho_2$, ako za njihove normale vrijedi $\mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}_2=0$. Okomite ravnine se sijeku u pravcu.

5.

Kut između pravaca $p_1$ i $p_2$ nalazimo pomoću skalarnog produkta vektora smjera,

$$% \cos \angle(p_1,p_2)=\frac{\mathbf{s}_1\cdot \mathbf{s}_2}{\vert\mathbf{s}_1\vert \vert\mathbf{s}_2\vert}.$$

6.

Kut između ravnina $\rho_1$ i $\rho_2$ nalazimo pomoću skalranog produkta normala,

$$% \cos \angle(\rho_1,\rho_2)=\frac{\mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}_2}{\vert\mathbf{n}_1\vert \vert\mathbf{n}_2\vert}.$$

7.

Kut između pravca $p$ i ravnine $\rho$ nalazimo pomoću skalranog produkta vektora smjera i normale

$$% \sin \angle(p,\rho)=\frac{\mathbf{s}\cdot \mathbf{n}}{\vert\mathbf{s}\vert \vert\mathbf{n}\vert}.$$

b)

Sjecišta.

1.

Točka $T$ u kojoj se sijeku pravci $p_1$ i $p_2$, $T=p_1\cap p_2$.

2.

Pravac $p$ koji je presjek ravnina $\rho_1$ i $\rho_2$, $p=\rho_1\cap\rho_2$.

3.

Točka $T$ u kojoj pravac $p$ siječe ravninu $\rho$, $T=p\cap \rho$: sjecište tražimo tako da parametarsku jednadžbu pravca uvrstimo u opći oblik jednadžbe ravnine i riješimo linearni sustav od jedne jednadžbe s jednom nepoznanicom (primjer 3.12).

c)

Projekcije.

1.

Projekcija točke $T$ na pravac $p$ (primjer 3.13).

2.

Projekcija točke $T$ na ravninu $\rho$ (primjer 3.14).

3.

Projekcija pravca $p$ na ravninu $\rho$.

Najčešće tražimo ortogonalne projekcije, ali možemo tražiti i projekcije u bilo kojem smjeru.

d)

Udaljenosti.

1.

Udaljenost točaka $T_1=(x_1,y_1,z_1)$ i $T_2=(x_2,y_2,z_2)$: iz postupka nalaženja komponenata vektora u primjeru 3.2 i formule za duljinu vektora (3.1) slijedi

$$% d(T_1,T_2)=\vert\overrightarrow {T_1T_2}\vert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$

2.

Udaljenost točke $T$ od pravca $p$: prvo nađemo projekciju $T'$ točke $T$ na pravac $p$, a onda izračunamo $d(T,p)=\vert\overrightarrow {TT'}\vert$ (primjer 3.13).

3.

Udaljenost točke $T$ od ravnine $\rho$: prvo nađemo projekciju $T'$ točke $T$ na ravninu $\rho$, a onda izračunamo $d(T,\rho)=\vert\overrightarrow {TT'}\vert$ (primjer 3.14).

4.

Udaljenost pravaca $p_1$ i $p_2$, $d(p_1,p_2)$.

5.

Udaljenost ravnina $\rho_1$ i $\rho_2$, $d(\rho_1,\rho_2)$.

6.

Udaljenost pravca $p$ i ravnine $\rho$, $d(p,\rho)$.

e)

Analiza trokuta.

1.

Težište - sjecište težišnica, odnosno pravaca koji spajaju vrh trokuta sa sredinom nasuprotne stranice.

2.

Upisana kružnica - središte je sjecište simetrala kutova, odnosno pravaca koji raspolovljuju unutarnje kutove trokuta, a radijus je udaljenost središta od bilo koje stranice.

3.

Opisana kružnica - središte je sjecište simetrala stranica, odnosno okomica podignutih od sredine stranice trokuta, a radijus je udaljenost središta od bilo kojeg vrha.

4.

Ortocentar - sjecište visina, odnosno okomica spuštenih iz vrha trokuta na nasuprotnu stranicu.

f)

Površine i volumeni.

1.

Površina poligonalnih likova u prostoru - lik rastavljamo na trokute, a površine trokuta računamo pomoću vektorskog produkta kao u primjeru 3.7.

2.

Volumeni tijela omeđenih samo s ravnim plohama - tijelo rastavljamo na tetraedre, a površine tetraedara računamo pomoću mješovitog produkta kao u primjeru 3.8.

Postupci za ispitivanje ovih međuodnosa i svojstava detaljno su opisani u vježbama.

Natrag: Ravnina   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed: Primjeri