previous up next
Natrag: Koordinatizacija prostora   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed: Linearna nezavisnost vektora  


Duljina vektora, jedinični vektor, kut između vektora i kosinusi smjerova

Duljina ili norma vektora $ \mathbf{a}=\{x,y,z\}$ jednaka je

$\displaystyle \vert\mathbf{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$ (3.1)

Naime, dvostrukom primjenom Pitagorinog poučka (slika 3.7) dobijemo:

$\displaystyle %
\vert\overrightarrow {OT}\vert^2=\vert\overrightarrow {OT'}\ver...
...{OP}\vert^2+\vert\overrightarrow {OQ}\vert^2+\vert\overrightarrow {OR}\vert^2.
$

Jedinični vektor vektora $ \mathbf{a}\neq\mathbf{0}$ je vektor

$\displaystyle %
\mathbf{a}_0=\frac{\mathbf{a}}{\vert\mathbf{a}\vert}.
$

Iz definicije slijedi

$\displaystyle %
\vert\mathbf{a}_0\vert=\left\vert \frac{\mathbf{a}}{\vert\mathbf{a}\vert} \right\vert =\frac{1}{\vert\mathbf{a}\vert}
\vert\mathbf{a}\vert=1,
$

odnosno jedinični vektor ima duljinu jedan, kolinearan je vektoru $ \mathbf{a}$ i ima istu orijentaciju. Na primjer, vektori $ \mathbf{i}$, $ \mathbf{j}$ i $ \mathbf{k}$ su sami svoji jedinični vektori.

Neka je $ \mathbf{a},\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ i neka su $ \overrightarrow {OA}$ i $ \overrightarrow {OB}$ njihovi predstavnici s hvatištem u točki $ O$, redom. Kut između vektora $ \mathbf{a}$ i $ \mathbf{b}$ definiramo kao kut između usmjerenih dužina $ \overrightarrow {OA}$ i $ \overrightarrow {OB}$,

$\displaystyle \angle(\mathbf{a},\mathbf{b})=\angle(\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}).
$

Prikloni kutovi vektora $ \mathbf{a}\neq\mathbf{0}$ su kutovi koje taj vektor zatvara s vektorima $ \mathbf{i}$, $ \mathbf{j}$ i $ \mathbf{k}$. Kosinusi smjerova su kosinusi priklonih kutova.

Teorem 3.1   Kosinusi smjerova vektora $ \mathbf{a}\neq\mathbf{0}$ jednaki su skalarnim komponentama jediničnog vektora $ \mathbf{a}_0$.

Dokaz.

Tvrdnja slijedi iz definicije skalarnog produkta u poglavlju 3.9 (vidi primjer 3.6).     
Q.E.D.

Ako je $ \mathbf{a}=x  \mathbf{i}+y  \mathbf{j}+z  \mathbf{k}$ i ako priklone kutove označimo redom s $ \alpha$, $ \beta$ i $ \gamma$, tada je

$\displaystyle %
\cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad
\cos \beta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad
\cos \gamma=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.
$

Očito je

$\displaystyle \mathbf{a}_0$ $\displaystyle =\cos \alpha  \mathbf{i}+\cos \beta  \mathbf{j}+\cos \gamma  \mathbf{k},$    
$\displaystyle 1$ $\displaystyle =\cos^2 \alpha+\cos ^2\beta+\cos^2\gamma.$    

Primjer 3.3   Ako je $ \mathbf{a}=\mathbf{i}-3  \mathbf{j}+2  \mathbf{k}$, tada je

$\displaystyle \mathbf{a}_0$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{14}}  \mathbf{i}-\frac{3}{\sqrt{14}}  \mathbf{j} +\frac{2}{\sqrt{14}}  \mathbf{k},$    
$\displaystyle \cos \alpha$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{14}}, \quad \cos \beta=-\frac{3}{\sqrt{14}}, \quad \cos \gamma=\frac{2}{\sqrt{14}}.$    


previous up next
Natrag: Koordinatizacija prostora   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed: Linearna nezavisnost vektora