×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Osnove matematičke logike     OSNOVE MATEMATIKE     Uređeni skupovi

Binarne relacije

U ovom poglavlju definirat ćemo partitivni skup, Kartezijev produkt skupova i binarnu relaciju te dati klasifikaciju binarnih relacija.

Skup je pojam koji se ne definira. Skup je zadan svojim elementima. Na primjer, skup $S=\{x,y,z,w\}$ ima elemente $x$ , $y$ , $z$ i $w$ . Tu činjenicu zapisujemo s

$$% x\in S, \quad y\in S, \quad z\in S, \quad w\in S,$$

dok, recimo, $t\notin S$ . S $\emptyset$ označavamo prazan skup, odnosno skup bez elemenata.

Zadatak 1.2   Ponovite pojmove podskupa, nadskupa, unije skupova, presjeka skupova i razlike skupova te osnovna svojstva tih operacija.

Partitivni skup skupa $X$ je skup $2^X$ čiji su elementi svi podskupovi skupa $X$ . Na primjer, ako je $X=\{a,b,c\}$ , tada je

$$% 2^X=\{ \emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}.$$

Dakle, uvijek je $\emptyset\in 2^X$ i $X\in 2^X$ .

Definicija 1.3   Direktni produkt ili Kartezijev produkt skupova $X$ i $Y$ je skup svih uređenih parova $(x,y)$ , gdje je $x\in X$ i $y\in Y$ , odnosno

$$% X\times Y =\{ (x,y): x\in X \wedge y\in Y\}.$$

Na primjer, ako je $X=\{1,2,3\}$ i $Y=\{a,b\}$ , tada je

$$% X\times Y=\{ (1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}.$$

Također, $X\times \emptyset=\emptyset$ za svaki skup $X$ .

Definicija 1.4   Binarna relacija na skupu $X$ je svaki podskup $\mathcal{R} \subseteq X\times X$ . Ako je uređeni par $(x,y)\in \mathcal{R}$ , kažemo da je $x$ u relaciji $\mathcal{R}$ s $y$ , i pišemo $x\,\mathcal{R}\, y$ ili $\mathcal{R}(x,y)$ . Binarna relacija je:

• refleksivna ako je $x\,\mathcal{R}\, x$ za svaki $x\in X$ ;
• simetrična ako $x\,\mathcal{R}\, y\Rightarrow y\,\mathcal{R}\, x$ ;
• tranzitivna ako $(x\,\mathcal{R}\, y \wedge y\,\mathcal{R}\, z) \Rightarrow x\,\mathcal{R}\, z$ ;
• relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna.

Na primjer, neka je $X$ skup ljudi i neka je $(x,y)\in \mathcal{R}$ ako su $x$ i $y$ rođeni istog dana. Očito vrijedi

$$% x\,\mathcal{R}\, x, \quad x\,\mathcal{R}\, y\Rightarrow y\,\ma... ...x\,\mathcal{R}\, y \wedge y\,\mathcal{R}\, z) \Rightarrow x\,\mathcal{R}\, z,$$

pa je $\mathcal{R}$ relacija ekvivalencije.

Napomena 1.1   Relacija ekvivalencije na skupu $X$ cijepa taj skup na međusobno disjunktne podskupove, takozvane klase ekvivalencije. Skup $X$ se može na jedinstven način prikazati kao unija tih klasa ekvivalencije.

Poglavlja

• Uređeni skupovi

Osnove matematičke logike     OSNOVE MATEMATIKE     Uređeni skupovi