previous up next
Natrag: Kronecker-Capellijev teorem   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: Determinante  


Inverzna matrica

Kod množenja realnih brojeva svaki broj različit od nule ima svoj inverz, odnosno

$\displaystyle %
x\cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x =1, \quad \forall x\neq 0.
$

U skupu kvadratnih matrica $ \mathcal{M}_n$ imamo sljedeću definiciju.

Definicija 2.5   Matrica $ A\in\mathcal{M}_n$ je regularna (invertibilna, nesingularna) ako postoji matrica $ B\in\mathcal{M}_n$ za koju vrijedi

$\displaystyle %
AB=BA=I.
$

Matrica je singularna ako nije regularna.

Matrica $ B$ je, ukoliko postoji, jedinstvena. Tu tvrdnju dokazujemo na sljedeći način: pretpostavimo da je $ C$ neka druga matrica za koju vrijedi $ AC=CA=I$. Tada je

$\displaystyle %
C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B.
$

Stoga možemo uvesti oznaku $ B=A^{-1}$. Matrica $ A^{-1}$ zove se inverzna matrica matrice $ A$. Dakle, za svaku regularnu matricu vrijedi

$\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=I.$ (2.7)

Kao što kod brojeva broj nula nema inverz, postavlja se pitanje da li su sve kvadratne matrice regularne. Odgovor na to pitanje daje sljedeći teorem.

Teorem 2.6   Matrica $ A\in\mathcal{M}_n$ je regularna ako i samo ako je $ \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=n$.

Dokaz.

Neka je $ \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=n$ i neka $ \mathbf{e}_i$ označava $ i$-ti stupac jedinične matrice. Po Kronecker-Capellijevom teoremu 2.5 svaki od sustava $ A\mathbf{x}_i=\mathbf{e}_i$ ima jedinstveno rješenje. Neka je

$\displaystyle %
X=\begin{bmatrix}\mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\cdots&\mathbf{x}_n\end{bmatrix}.
$

Tada je očito $ AX=I$. Slično, $ \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A^T)=n$ povlači da svaki od sustava $ A^T\mathbf{y}_i=\mathbf{e}_i$ ima jedinstveno rješenje. Ako stavimo

$\displaystyle %
Y=\begin{bmatrix}\mathbf{y}_1&\mathbf{y}_2&\cdots&\mathbf{y}_n\end{bmatrix},
$

tada je očito $ A^TY=I$, odnosno $ Y^TA=I$. Sada imamo

$\displaystyle %
Y^T=Y^TI=Y^T(AX)=(Y^TA)X=IX=X,
$

pa je $ X=Y^T=A^{-1}$, odnosno $ A$ je regularna.

Obratno, neka je $ A$ regularna. Pretpostavimo da teorem ne vrijedi, odnosno $ \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)<n$. Kako su stupci od $ A$ zavisni, zaključujemo da postoji vektor $ \mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ takav da je $ A\mathbf{x}=\mathbf{0}$. No iz $ A^{-1}A\mathbf{x}=I\mathbf{x}=\mathbf{0}$ slijedi da je $ \mathbf{x}=\mathbf{0}$, što je kontradikcija.     

Q.E.D.

Skup $ \mathcal{G}_n$ svih regularnih matrica ima sljedeća svojstva:

(i)
$ \mathcal{G}_n\neq \mathcal{M}_n$,
(ii)
$ I\in\mathcal{G}_n$,
(iii)
$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ za $ \forall A,B\in \mathcal{G}_n$,
(iv)
$ (A^{-1})^{-1}=A$ za $ \forall A\in \mathcal{G}_n$.
Svojstvo (i) slijedi iz teorema 2.6, svojstvo (ii) vrijedi jer $ II=I$ povlači $ I^{-1}=I$, svojstvo (iii) slijedi iz

$\displaystyle %
(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I,
$

a svojstvo (iv) slijedi iz (2.7).

Dokaz teorema 2.6 nam daje postupak za računanje inverzne matrice. Naime, svi sustavi $ A\mathbf{x}_i=\mathbf{e}_i$ imaju zajedničku matricu sustava pa proširene matrice svih $ n$ sustava možemo pisati zajedno,

$\displaystyle %
\begin{bmatrix}
A&\vline & I
\end{bmatrix}.
$

Kada pomoću elementarnih transformacija dobijemo oblik

$\displaystyle %
\begin{bmatrix}
I&\vline & B
\end{bmatrix},
$

tada je $ A^{-1}=B$. Ukoliko se ne može dobiti ovaj oblik, $ A$ je singularna.

Zadatak 2.7   Nađite inverznu matricu matrice

$\displaystyle %
A=
\begin{bmatrix}
1&2&3 4&5&6 7&8&6
\end{bmatrix}$

i provjerite da vrijedi (2.7).


previous up next
Natrag: Kronecker-Capellijev teorem   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: Determinante