Natrag: Rang matrice   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: Inverzna matrica  

Kronecker-Capellijev teorem

Sljedeći teorem nam opisuje strukturu rješenja sustava linearnih jednadžbi u ovisnosti o rangu matrice sustava i rangu proširene matrice sustava.

Teorem 2.5   [Kronecker-Capelli] Za sustav $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ vrijedi:

(i)

Sustav ima rješenje ako i samo ako matrice $A$ i $\begin{bmatrix}A&\vline& \mathbf{b}\end{bmatrix}$ imaju isti rang.

(ii)

Ako je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b}\end{bmatrix})$, tada sustav ima ista rješenja kao i sustav koji dobijemo kada uzmemo $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)$ nezavisnih jednadžbi, odnosno $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)$ linearno nezavisnih redaka matrice $\begin{bmatrix}A&\vline& \mathbf{b}\end{bmatrix}$.

(iii)

Neka sustav ima rješenje i neka je $n$ broj nepoznanica. Tada je rješenje jedinstveno ako i samo ako je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=n$. Ako je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)<n$, tada sustav ima beskonačno rješenja koja su izražena pomoću $n-\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)$ parametara.

Dokaz.

(i) Neka sustav ima rješenje $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1 & x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$ i neka su

$$% \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n$$

stupci matrice $A$. Iz poglavlja 2.1.6 zaključujemo da matrično množenje $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ možemo pisati i kao

$$x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2+\cdots + x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b}.$$ (2.6)

Dakle, $\mathbf{b}$ je linearna kombinacija stupaca matrice $A$ pa je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b}\end{bmatrix})\leq\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)$. Kako se dodavanjem stupca rang ne može smanjiti, zaključujemo da je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b}\end{bmatrix})=\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)$.

Obratno, neka je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b}\end{bmatrix})=r$. Kako već među stupcima matrice $A$ ima $r$ linearno nezavisnih, zaključujemo da je $\mathbf{b}$ linearna kombinacija stupaca matrice $A$, odnosno da postoje brojevi $x_1,x_2, \cdots, x_n$ za koje vrijedi (2.6). U matričnom obliku to odgovara zapisu $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, što znači da je $\mathbf{x}$ rješenje sustava.

Dokaze tvrdnji (ii) i (iii) izostavljamo.     

Q.E.D.

Zadatak 2.6   Protumačite primjere 2.1, 2.2 i 2.3 prema teoremu 2.5.

Posebno je lagana primjena Kronecker-Capellijevog teorema na homogene sustave, odnosno sustave oblika

$$% A\mathbf{x}=\mathbf{0}.$$

Homogeni sustav očito uvijek ima trivijalno rješenje $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. Iz teorema 2.5 slijedi da će homogeni sustav imati i netrivijalna (parametarska) rješenja ako i samo ako je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)<n$, pri čemu je $n$ broj nepoznanica.

Natrag: Rang matrice   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: Inverzna matrica