×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Elementarne matrice transformacija     LINEARNA ALGEBRA     Rang matrice


Linearna nezavisnost

Neka su $ \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_k \in \mathcal{M}_{n1}$ stupčani vektori. Vektor

$\displaystyle %
\mathbf{a}=\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k
\mathbf{a}_k, \quad \lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R},
$

zove se linearna kombinacija vektora $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ .

Definicija 2.3   Vektori $ \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_k$ su linearno nezavisni ako za sve skalare $ \lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R}$

$\displaystyle %
\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k=
\mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1= \cdots = \lambda_k=0.
$

U protivnom su vektori $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ linearno zavisni.

Drugim riječima, $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ su linearno zavisni ako i samo ako postoje $ \lambda_1,\cdots,\lambda_k$ takvi da je

$\displaystyle %
\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k=
\mathbf{0}
$

i da je barem jedan od $ \lambda_i$ različit od nule, odnosno

$\displaystyle %
\vert\lambda_1\vert+\vert\lambda_2\vert+\cdots + \vert\lambda_k\vert > 0.
$

Ovaj uvjet još zapisujemo kao $ \sum_i \vert\lambda_i\vert>0$ . Ekvivalentna formulacija gornjeg uvjeta glasi $ \sum_i \lambda_i^2>0$ . Linearna zavisnost skupa vektora znači i da je jedan od tih vektora linearna kombinacija preostalih - ako je na primjer $ \lambda_1\neq 0$ , tada je

$\displaystyle %
\mathbf{a}_1=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\mathbf{a}_2 - \cdots
-\frac{\lambda_k}{\lambda_1}\mathbf{a}_k.
$

Linearna kombinacija i linearna nezavisnost retčanih vektora definira se analogno. Bez dokaza navodimo sljedeće tvrdnje:

a)
ako je neki od vektora $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ nul-vektor, tada su ti vektori linearno zavisni,
b)
ako među vektorima $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ ima jednakih, tada su ti vektori linearno zavisni,
c)
ako su vektori $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ linearno nezavisni, tada je svakih $ p<k$ vektora izabranih između tih vektora također linearno nezavisno,
d)
ako su vektori $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ linearno zavisni, tada su i vektori

$\displaystyle %
\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k, \mathbf{a}_{k+1},\cdots, \mathbf{a}_q
$

linearno zavisni za bilo koje vektore $ \mathbf{a}_{k+1},\cdots, \mathbf{a}_q$ ,
e)
bilo kojih $ n+1$ vektora iz skupa $ \mathcal{M}_{n1}$ (ili $ \mathcal{M}_{1n}$ ) su linearno zavisni.

Primjer 2.4   Vektori $ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4$ definirani s

$\displaystyle %
\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}, \quad
...
... \end{bmatrix}, \quad
\mathbf{e}_4=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix},
$

su nezavisni, jer

$\displaystyle %
\lambda_1\mathbf{e}_1+\lambda_2\mathbf{e}_2+\lambda_3\mathbf{e}_3+
\lambda_4\mathbf{e}_4=\mathbf{0}
$

povlači $ \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0$ . Dodamo li ovom skupu peti vektor $ \mathbf{a}=\begin{bmatrix}\alpha&\beta&\gamma&\delta\end{bmatrix}^T$ , tada su vektori $ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4,\mathbf{a}$ linearno zavisni jer je jedan od njih linearna kombinacija ostalih,

$\displaystyle %
\mathbf{a}=\alpha\mathbf{e}_1+\beta\mathbf{e}_2+\gamma\mathbf{e}_3+\delta\mathbf{e}_4.
$

Napomena 2.2   Skup vektora $ \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4\}$ tvori jednu bazu četverodimenzionalnog vektorskog prostora $ \mathcal{M}_{4}$ . Općenito, svaki skup od $ n$ linearno nezavisnih vektora $ n$ -dimenzionalnog prostora tvori jednu bazu tog prostora te se svaki vektor iz tog prostora može prikazati kao linearna kombinacija vektora baze.


Elementarne matrice transformacija     LINEARNA ALGEBRA     Rang matrice