Natrag: Elementarne matrice transformacija   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: Rang matrice  

Linearna nezavisnost

Neka su $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_k \in \mathcal{M}_{n1}$ stupčani vektori. Vektor

$$% \mathbf{a}=\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k, \quad \lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R},$$

zove se linearna kombinacija vektora $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$.

Definicija 2.3   Vektori $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_k$ su linearno nezavisni ako za sve skalare $\lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R}$

$$% \lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k= \mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1= \cdots = \lambda_k=0.$$

U protivnom su vektori $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ linearno zavisni.

Drugim riječima, $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ su linearno zavisni ako i samo ako postoje $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ takvi da je

$$% \lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k= \mathbf{0}$$

i da je barem jedan od $\lambda_i$ različit od nule, odnosno

$$% \vert\lambda_1\vert+\vert\lambda_2\vert+\cdots + \vert\lambda_k\vert > 0.$$

Ovaj uvjet još zapisujemo kao $\sum_i \vert\lambda_i\vert>0$. Ekvivalentna formulacija gornjeg uvjeta glasi $\sum_i \lambda_i^2>0$. Linearna zavisnost skupa vektora znači i da je jedan od tih vektora linearna kombinacija preostalih - ako je na primjer $\lambda_1\neq 0$, tada je

$$% \mathbf{a}_1=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\mathbf{a}_2 - \cdots -\frac{\lambda_k}{\lambda_1}\mathbf{a}_k.$$

Linearna kombinacija i linearna nezavisnost retčanih vektora definira se analogno. Bez dokaza navodimo sljedeće tvrdnje:

(a)

ako je neki od vektora $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ nul-vektor, tada su ti vektori linearno zavisni,

(b)

ako među vektorima $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ ima jednakih, tada su ti vektori linearno zavisni,

(c)

ako su vektori $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ linearno nezavisni, tada je svakih $p<k$ vektora izabranih između tih vektora također linearno nezavisno,

(d)

ako su vektori $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ linearno zavisni, tada su i vektori

$$% \mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k, \mathbf{a}_{k+1},\cdots, \mathbf{a}_q$$

linearno zavisni za bilo koje vektore $\mathbf{a}_{k+1},\cdots, \mathbf{a}_q$,

(e)

bilo kojih $n+1$ vektora iz skupa $\mathcal{M}_{n1}$ (ili $\mathcal{M}_{1n}$) su linearno zavisni.

Primjer 2.4   Vektori $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4$ definirani s

$$% \mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1 0 0 0 \end{bmatrix}, \quad ... ... \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_4=\begin{bmatrix}0 0 0 1 \end{bmatrix},$$

su nezavisni, jer

$$% \lambda_1\mathbf{e}_1+\lambda_2\mathbf{e}_2+\lambda_3\mathbf{e}_3+ \lambda_4\mathbf{e}_4=\mathbf{0}$$

povlači $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0$. Dodamo li ovom skupu peti vektor $\mathbf{a}=\begin{bmatrix}\alpha&\beta&\gamma&\delta\end{bmatrix}^T$, tada su vektori $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4,\mathbf{a}$ linearno zavisni jer je jedan od njih linearna kombinacija ostalih,

$$% \mathbf{a}=\alpha\mathbf{e}_1+\beta\mathbf{e}_2+\gamma\mathbf{e}_3+\delta\mathbf{e}_4.$$

Napomena 2.2   Skup vektora $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4\}$ tvori jednu bazu četverodimenzionalnog vektorskog prostora $\mathcal{M}_{4}$. Općenito, svaki skup od $n$ linearno nezavisnih vektora $n$-dimenzionalnog prostora tvori jednu bazu tog prostora te se svaki vektor iz tog prostora može prikazati kao linearna kombinacija vektora baze.

Natrag: Elementarne matrice transformacija   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: Rang matrice