×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Množenje matrice skalarom     Matrice     Nul-matrica i jedinična matrica


Množenje matrica

Definicija množenja matrica je na prvi pogled neobična, ali upravo nam ona omogućava jednostvno zapisivanje sustava linearnih jednadžbi.

Matrice $ A$ i $ B$ možemo pomnožiti samo ako su ulančane, odnosno ako $ A$ ima onoliko stupaca koliko $ B$ ima redaka. Matrica $ C=A\cdot
B$ ima redaka koliko $ A$ i stupaca koliko $ B$ . Neka je, dakle, $ A$ tipa $ m\times k$ i $ B$ tipa $ k\times n$ . Tada je matrica $ C$ tipa $ m\times n$ i vrijedi

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{l=1}^{k} a_{il} b_{lj}= a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ik}b_{kj}.$ (2.2)

Element $ (2,3)$ umnoška

$\displaystyle %
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
\textcolor{red...
..._{35}\\
b_{41}&b_{42}&\textcolor{magenta}{b_{43}}&b_{44}&b_{45}
\end{bmatrix}$

nalazi se tako da stavite lijevi kažiprst na $ a_{21}$ a desni na $ b_{13}$ i kažete ''puta''. Tada pomičete kažiprste prema $ a_{22}$ i $ b_{23}$ govoreći ''plus'' dok se kažiprsti pomiču i ''puta'' kada stignu na cilj. Nastavite li na taj način izračunat ćete

$\displaystyle %
a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}+a_{24}b_{43},
$

što je upravo element $ (2,3)$ produkta.

Na primjer,

$\displaystyle %
\begin{bmatrix}
1& 2& 3\\
4 &5 &6\\
7 &8& 9
\end{bmatrix}\b...
...{bmatrix}
12 & 5& 7& -2\\
30 & 17& 16& -5\\
48 & 29& 25& -8
\end{bmatrix}$

Uočimo da množenje u obrnutom poretku nije definirano stoga što matrice nisu ulančane. U sljedećem primjeru su oba množenja definirana, ali umnošci nisu istog tipa:

\begin{displaymath}\begin{split}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \begin{bm...
... 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}3 \end{bmatrix}. \end{split}\end{displaymath}    

U sljedećem primjeru su umnošci $ AB$ i $ BA$ istog tipa, ali nisu jednaki:

\begin{displaymath}\begin{split}A&= \begin{bmatrix}2&1\\ 1&0 \end{bmatrix}, \qqu...
...quad BA= \begin{bmatrix}-1&-1\\ 12&5 \end{bmatrix}. \end{split}\end{displaymath}    

U ovom primjeru su, pak, oba umnoška jednaka:

$\displaystyle %
A=
\begin{bmatrix}
2&2\\ 2&2
\end{bmatrix}, \qquad
B=
\begin...
...2\\ 2&1
\end{bmatrix}, \quad
AB= BA=
\begin{bmatrix}
6&6\\ 6&6
\end{bmatrix}.
$

Iz prethodnih primjera zaključujemo kako, za razliku od množenja brojeva,
množenje matrica općenito nije komutativno.
Budite oprezni, jer se ova činjenica lako zaboravi kada se manipulira s formulama koje sadrže matrice.

Teorem 2.1   [Svojstva množenja matrica]Za proizvoljne matrice $ A$ , $ B$ i $ C$ i broj $ \lambda$ , ukoliko su svi umnošci definirani vrijedi:
i)
$ (AB)C=A(BC)$ (asocijativnost),
ii)
$ A(B+C)=AB+AC$ (distributivnost),
iii)
$ (A+B)C=AC+BC$ (distributivnost),
iv)
$ \lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$ .

Primijetimo da zbog općenite nekomutativnosti množenja matrica, moramo posebno navesti distributivnost prema množenju slijeva i zdesna.
Dokaz.

i) neka je $ A$ tipa $ m\times k$ , $ B$ tipa $ k\times l$ i $ C$ tipa $ l\times n$ . Tada je $ AB$ tipa $ m\times l$ , a $ (AB)C$ je tipa $ m\times n$ . Za proizvoljni element matrice $ (AB)C$ vrijedi:

$\displaystyle [(AB)C]_{ij}$ $\displaystyle =\sum_{p=1}^l[AB]_{ip} C_{pj}$    
  $\displaystyle = \sum_{p=1}^l \biggl( \sum_{q=1}^k A_{iq}B_{qp} \biggr) C_{pj} =$   raspišemo sumu    
  $\displaystyle = \sum_{p=1}^l \sum_{q=1}^k A_{iq}B_{qp} C_{pj} =$   zamijenimo redoslijed zbrajanja    
  $\displaystyle = \sum_{q=1}^k \sum_{p=1}^l A_{iq}B_{qp} C_{pj} =$   grupiramo pribrojnike na drugi način    
  $\displaystyle = \sum_{q=1}^k A_{iq} \biggl( \sum_{p=1}^l B_{qp} C_{pj}\biggr)$    
  $\displaystyle = \sum_{q=1}^k A_{iq} [BC]_{qj}$    
  $\displaystyle = [A(BC)]_{ij}.$    

Ostale tvrdnje dokazuju se slično.     
Q.E.D.


Množenje matrice skalarom     Matrice     Nul-matrica i jedinična matrica