×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Ekstremi     Ekstremi     Zakrivljenost


Geometrijski ekstrem

U ovom poglavlju objasnit ćemo postupak traženje globalnih ekstrema u slučaju kada su u problemu koji rješavamo zadana neka ograničenja. Ograničenja se često javljaju prilikom rješavanja geometrijskih i fizikalnih problema pa odatle i naziv geometrijski ekstrem.

Riješimo sljedeći zadatak: od svih valjaka koje možemo upisati u zadani stožac visine $ h$ i radijusa baze $ r$ , na način da donja baza valjka leži na bazi stošca, nađimo onaj koji ima najveći volumen.

Stožac i valjak prikazani su na slici 5.10. Volumen traženog valjka je

$\displaystyle V=y x^2\pi.
$

Slika 5.10: Valjak upisan u stožac
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/valjak.eps,width=7.2cm}
\end{center}\end{figure}

Naš cilj je izraziti volumen kao funkciju jedne varijable te naći njen maksimum uz zadani uvjet da se valjak nalazi unutar stošca. Sličnost trokuta daje

$\displaystyle \frac{r-x}{y}=\frac{r}{h},
$

odnosno

$\displaystyle y=(r-x)\frac{h}{r}.
$

Dakle,

$\displaystyle V=V(x)=(r-x)\frac{h}{r}x^2 \pi.
$

$ V(x)$ je neprekidna funkcija, a u našem zadatku $ x$ poprima vrijednosti u intervalu $ [0,r]$ . Po teoremu 4.8 neprekidna funkcija poprima na zatvorenom intervalu svoj maksimum i minimum pa zadani problem sigurno ima rješenje. Pored toga, vrijedi $ V(0)=0$ i $ V(r)=0$ , što se također vidi sa slike. Potražimo lokalne ekstreme funkcije $ V(x)$ . Vrijedi

$\displaystyle V'(x)=\pi \frac{h}{r}(2x(r-x)+x^2(-1))=\pi \frac{h}{r}x(-3x+2r).
$

Jednadžba $ V'(x)=0$ ima dva rješenja, $ x=0$ i $ x=2r/3$ . Prvo rješenje nije rješenje našeg zadatka, jer je $ V(0)=0$ . Kako je $ V'(x)>0$ za $ x\in(0,2r/3)$ i $ V'(x)<0$ za $ x\in(2r/3,r)$ , zaključujemo da je $ x=2r/3$ točka lokalnog maksimuma. Iz istog razloga zaključujemo da je $ x=2r/3$ ujedno i točka globalnog maksimuma promatrane funkcije na intervalu $ [0,r]$ . Dakle, traženi valjak ima radijus $ x=2r/3$ , visinu $ y=h/3$ i volumen

$\displaystyle V=\frac{4}{27}r^2 h\pi.
$

Ovisnost volumena upisanog valjka o njegovom radijusu prikazana je na slici 5.11.

Slika 5.11: Volumen upisanog valjka
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/valjak1.eps,width=5.6cm}
\end{center}\end{figure}


Ekstremi     Ekstremi     Zakrivljenost