×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Diferencijal     Diferencijal     Više derivacije i diferencijali

Približno računanje

Jedna od važnih primjena diferencijala je približno računanje. Neka smo vrijednost nezavisne varijable $x$ izmjerili s pogreškom koja po apsolutnoj vrijednosti ne prelazi neki $\Delta x$ . Ako pomoću tako izračunatog $x$ računamo vrijednost funkcije $y=f(x)$ , tada po (5.8) apsolutna pogreška u tako izračunatoj vrijednosti funkcije približno iznosi

$$\vert\Delta y\vert \approx \vert dy\vert =\vert f'(x)\Delta x\vert,$$

dok relativna pogreška iznosi

$$\frac{\Delta y}{y}\approx \frac{dy}{y}.$$

Ovo je krasna ideja, uz uvjet da znamo preciznije kazati što znači "$\approx$ ".

Primjer 5.8   Izračunajmo približno $\sqrt[4]{84}$ koristeći činjenicu da je $\sqrt[4]{81}=3$ . Vrijedi

$$\sqrt[4]{84}=\sqrt[4]{81+3}= 3\sqrt[4]{1+\frac{1}{27}}.$$

Definirajmo funkciju

$$f(x)=3\sqrt[4]{1+x}$$

i odaberimo $x_0=0$ i $\Delta x=1/27$ . Koristeći diferencijal imamo

$$\sqrt[4]{84} =f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+df(x_0)= f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

$$= f(x_0) + \frac{3}{4}(1+x_0)^{-\frac{3}{4}} \Delta x= 3+\frac{3}{4}\cdot 1\cdot \frac{1}{27}=3.02\dot 7.$$

Točna vrijednost na četiri decimale je 3.0274 pa smo u ovom slučaju uz vrlo jednostavne operacije dobili dobru aproksimaciju izbjegavši pri tome računanje četvrtog korijena.

Pri računanju $\sqrt[4]{84}$ zaporavo smo koristili prva dva člana Taylorovog reda odabrane funkcije. Taylorov red je tema kojom se bavi poglavlje 6.5 pa će tamo također biti više riječi o ocjeni pogreške prilikom ovakvog približnog računanja.

Diferencijal     Diferencijal     Više derivacije i diferencijali